<div id="readability-page-1" class="page">
    <p> When </p>
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            <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
                <mi> a </mi>
                <mo> ≠ </mo>
                <mn> 0 </mn>
            </math>
        </mjx-assistive-mml>
    </mjx-container>, there are two solutions to <mjx-container jax="CHTML" tabindex="0" ctxtmenu_counter="1">
        <mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline">
            <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
                <mi> a </mi>
                <msup>
                    <mi> x </mi>
                    <mn> 2 </mn>
                </msup>
                <mo> + </mo>
                <mi> b </mi>
                <mi> x </mi>
                <mo> + </mo>
                <mi> c </mi>
                <mo> = </mo>
                <mn> 0 </mn>
            </math>
        </mjx-assistive-mml>
    </mjx-container>and they are <mjx-container jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="2">
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            <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
                <mi> x </mi>
                <mo> = </mo>
                <mrow>
                    <mfrac>
                        <mrow>
                            <mo> − </mo>
                            <mi> b </mi>
                            <mo> ± </mo>
                            <msqrt>
                                <msup>
                                    <mi> b </mi>
                                    <mn> 2 </mn>
                                </msup>
                                <mo> − </mo>
                                <mn> 4 </mn>
                                <mi> a </mi>
                                <mi> c </mi>
                            </msqrt>
                        </mrow>
                        <mrow>
                            <mn> 2 </mn>
                            <mi> a </mi>
                        </mrow>
                    </mfrac>
                </mrow>
                <mtext> . </mtext>
            </math>
        </mjx-assistive-mml>
    </mjx-container>
    <h2> The Lorenz Equations </h2>
    <mjx-container jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="3">
        <mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block">
            <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
                <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
                    <mtr>
                        <mtd>
                            <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                <mover>
                                    <mi> x </mi>
                                    <mo> ˙ </mo>
                                </mover>
                            </mrow>
                        </mtd>
                        <mtd>
                            <mi></mi>
                            <mo> = </mo>
                            <mi> σ </mi>
                            <mo stretchy="false"> ( </mo>
                            <mi> y </mi>
                            <mo> − </mo>
                            <mi> x </mi>
                            <mo stretchy="false"> ) </mo>
                        </mtd>
                    </mtr>
                    <mtr>
                        <mtd>
                            <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                <mover>
                                    <mi> y </mi>
                                    <mo> ˙ </mo>
                                </mover>
                            </mrow>
                        </mtd>
                        <mtd>
                            <mi></mi>
                            <mo> = </mo>
                            <mi> ρ </mi>
                            <mi> x </mi>
                            <mo> − </mo>
                            <mi> y </mi>
                            <mo> − </mo>
                            <mi> x </mi>
                            <mi> z </mi>
                        </mtd>
                    </mtr>
                    <mtr>
                        <mtd>
                            <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                <mover>
                                    <mi> z </mi>
                                    <mo> ˙ </mo>
                                </mover>
                            </mrow>
                        </mtd>
                        <mtd>
                            <mi></mi>
                            <mo> = </mo>
                            <mo> − </mo>
                            <mi> β </mi>
                            <mi> z </mi>
                            <mo> + </mo>
                            <mi> x </mi>
                            <mi> y </mi>
                        </mtd>
                    </mtr>
                </mtable>
            </math>
        </mjx-assistive-mml>
    </mjx-container>
    <h2> The Cauchy-Schwarz Inequality </h2>
    <mjx-container jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="4">
        <mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block">
            <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
                <msup>
                    <mrow>
                        <mo> ( </mo>
                        <mrow>
                            <munderover>
                                <mo> ∑ </mo>
                                <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                    <mi> k </mi>
                                    <mo> = </mo>
                                    <mn> 1 </mn>
                                </mrow>
                                <mi> n </mi>
                            </munderover>
                            <msub>
                                <mi> a </mi>
                                <mi> k </mi>
                            </msub>
                            <msub>
                                <mi> b </mi>
                                <mi> k </mi>
                            </msub>
                        </mrow>
                        <mo> ) </mo>
                    </mrow>
                    <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                        <mspace width="negativethinmathspace"></mspace>
                        <mspace width="negativethinmathspace"></mspace>
                        <mn> 2 </mn>
                    </mrow>
                </msup>
                <mo> ≤ </mo>
                <mrow>
                    <mo> ( </mo>
                    <mrow>
                        <munderover>
                            <mo> ∑ </mo>
                            <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                <mi> k </mi>
                                <mo> = </mo>
                                <mn> 1 </mn>
                            </mrow>
                            <mi> n </mi>
                        </munderover>
                        <msubsup>
                            <mi> a </mi>
                            <mi> k </mi>
                            <mn> 2 </mn>
                        </msubsup>
                    </mrow>
                    <mo> ) </mo>
                </mrow>
                <mrow>
                    <mo> ( </mo>
                    <mrow>
                        <munderover>
                            <mo> ∑ </mo>
                            <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                <mi> k </mi>
                                <mo> = </mo>
                                <mn> 1 </mn>
                            </mrow>
                            <mi> n </mi>
                        </munderover>
                        <msubsup>
                            <mi> b </mi>
                            <mi> k </mi>
                            <mn> 2 </mn>
                        </msubsup>
                    </mrow>
                    <mo> ) </mo>
                </mrow>
            </math>
        </mjx-assistive-mml>
    </mjx-container>
    <h2> A Cross Product Formula </h2>
    <mjx-container jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="5">
        <mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block">
            <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
                <msub>
                    <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                        <mi mathvariant="bold"> V </mi>
                    </mrow>
                    <mn> 1 </mn>
                </msub>
                <mo> × </mo>
                <msub>
                    <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                        <mi mathvariant="bold"> V </mi>
                    </mrow>
                    <mn> 2 </mn>
                </msub>
                <mo> = </mo>
                <mrow>
                    <mo> | </mo>
                    <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em">
                        <mtr>
                            <mtd>
                                <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                    <mi mathvariant="bold"> i </mi>
                                </mrow>
                            </mtd>
                            <mtd>
                                <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                    <mi mathvariant="bold"> j </mi>
                                </mrow>
                            </mtd>
                            <mtd>
                                <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                    <mi mathvariant="bold"> k </mi>
                                </mrow>
                            </mtd>
                        </mtr>
                        <mtr>
                            <mtd>
                                <mfrac>
                                    <mrow>
                                        <mi mathvariant="normal"> ∂ </mi>
                                        <mi> X </mi>
                                    </mrow>
                                    <mrow>
                                        <mi mathvariant="normal"> ∂ </mi>
                                        <mi> u </mi>
                                    </mrow>
                                </mfrac>
                            </mtd>
                            <mtd>
                                <mfrac>
                                    <mrow>
                                        <mi mathvariant="normal"> ∂ </mi>
                                        <mi> Y </mi>
                                    </mrow>
                                    <mrow>
                                        <mi mathvariant="normal"> ∂ </mi>
                                        <mi> u </mi>
                                    </mrow>
                                </mfrac>
                            </mtd>
                            <mtd>
                                <mn> 0 </mn>
                            </mtd>
                        </mtr>
                        <mtr>
                            <mtd>
                                <mfrac>
                                    <mrow>
                                        <mi mathvariant="normal"> ∂ </mi>
                                        <mi> X </mi>
                                    </mrow>
                                    <mrow>
                                        <mi mathvariant="normal"> ∂ </mi>
                                        <mi> v </mi>
                                    </mrow>
                                </mfrac>
                            </mtd>
                            <mtd>
                                <mfrac>
                                    <mrow>
                                        <mi mathvariant="normal"> ∂ </mi>
                                        <mi> Y </mi>
                                    </mrow>
                                    <mrow>
                                        <mi mathvariant="normal"> ∂ </mi>
                                        <mi> v </mi>
                                    </mrow>
                                </mfrac>
                            </mtd>
                            <mtd>
                                <mn> 0 </mn>
                            </mtd>
                        </mtr>
                    </mtable>
                    <mo> | </mo>
                </mrow>
            </math>
        </mjx-assistive-mml>
    </mjx-container>
    <h2> The probability of getting </h2>
    <mjx-container jax="CHTML" tabindex="0" ctxtmenu_counter="6">
        <mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline">
            <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
                <mi> k </mi>
            </math>
        </mjx-assistive-mml>
    </mjx-container>heads when flipping <mjx-container jax="CHTML" tabindex="0" ctxtmenu_counter="7">
        <mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline">
            <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
                <mi> n </mi>
            </math>
        </mjx-assistive-mml>
    </mjx-container>coins is: <mjx-container jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="8">
        <mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block">
            <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
                <mi> P </mi>
                <mo stretchy="false"> ( </mo>
                <mi> E </mi>
                <mo stretchy="false"> ) </mo>
                <mo> = </mo>
                <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                    <mrow>
                        <mrow data-mjx-texclass="OPEN">
                            <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em"> ( </mo>
                        </mrow>
                        <mfrac linethickness="0">
                            <mi> n </mi>
                            <mi> k </mi>
                        </mfrac>
                        <mrow data-mjx-texclass="CLOSE">
                            <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em"> ) </mo>
                        </mrow>
                    </mrow>
                </mrow>
                <msup>
                    <mi> p </mi>
                    <mi> k </mi>
                </msup>
                <mo stretchy="false"> ( </mo>
                <mn> 1 </mn>
                <mo> − </mo>
                <mi> p </mi>
                <msup>
                    <mo stretchy="false"> ) </mo>
                    <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                        <mi> n </mi>
                        <mo> − </mo>
                        <mi> k </mi>
                    </mrow>
                </msup>
            </math>
        </mjx-assistive-mml>
    </mjx-container>
    <h2> An Identity of Ramanujan </h2>
    <mjx-container jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="9">
        <mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block">
            <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
                <mfrac>
                    <mn> 1 </mn>
                    <mrow>
                        <mo stretchy="false"> ( </mo>
                        <msqrt>
                            <mi> ϕ </mi>
                            <msqrt>
                                <mn> 5 </mn>
                            </msqrt>
                        </msqrt>
                        <mo> − </mo>
                        <mi> ϕ </mi>
                        <mo stretchy="false"> ) </mo>
                        <msup>
                            <mi> e </mi>
                            <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                <mfrac>
                                    <mn> 2 </mn>
                                    <mn> 5 </mn>
                                </mfrac>
                                <mi> π </mi>
                            </mrow>
                        </msup>
                    </mrow>
                </mfrac>
                <mo> = </mo>
                <mn> 1 </mn>
                <mo> + </mo>
                <mfrac>
                    <msup>
                        <mi> e </mi>
                        <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                            <mo> − </mo>
                            <mn> 2 </mn>
                            <mi> π </mi>
                        </mrow>
                    </msup>
                    <mrow>
                        <mn> 1 </mn>
                        <mo> + </mo>
                        <mfrac>
                            <msup>
                                <mi> e </mi>
                                <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                    <mo> − </mo>
                                    <mn> 4 </mn>
                                    <mi> π </mi>
                                </mrow>
                            </msup>
                            <mrow>
                                <mn> 1 </mn>
                                <mo> + </mo>
                                <mfrac>
                                    <msup>
                                        <mi> e </mi>
                                        <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                            <mo> − </mo>
                                            <mn> 6 </mn>
                                            <mi> π </mi>
                                        </mrow>
                                    </msup>
                                    <mrow>
                                        <mn> 1 </mn>
                                        <mo> + </mo>
                                        <mfrac>
                                            <msup>
                                                <mi> e </mi>
                                                <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                                    <mo> − </mo>
                                                    <mn> 8 </mn>
                                                    <mi> π </mi>
                                                </mrow>
                                            </msup>
                                            <mrow>
                                                <mn> 1 </mn>
                                                <mo> + </mo>
                                                <mo> … </mo>
                                            </mrow>
                                        </mfrac>
                                    </mrow>
                                </mfrac>
                            </mrow>
                        </mfrac>
                    </mrow>
                </mfrac>
            </math>
        </mjx-assistive-mml>
    </mjx-container>
    <h2> A Rogers-Ramanujan Identity </h2>
    <mjx-container jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="10">
        <mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block">
            <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
                <mn> 1 </mn>
                <mo> + </mo>
                <mfrac>
                    <msup>
                        <mi> q </mi>
                        <mn> 2 </mn>
                    </msup>
                    <mrow>
                        <mo stretchy="false"> ( </mo>
                        <mn> 1 </mn>
                        <mo> − </mo>
                        <mi> q </mi>
                        <mo stretchy="false"> ) </mo>
                    </mrow>
                </mfrac>
                <mo> + </mo>
                <mfrac>
                    <msup>
                        <mi> q </mi>
                        <mn> 6 </mn>
                    </msup>
                    <mrow>
                        <mo stretchy="false"> ( </mo>
                        <mn> 1 </mn>
                        <mo> − </mo>
                        <mi> q </mi>
                        <mo stretchy="false"> ) </mo>
                        <mo stretchy="false"> ( </mo>
                        <mn> 1 </mn>
                        <mo> − </mo>
                        <msup>
                            <mi> q </mi>
                            <mn> 2 </mn>
                        </msup>
                        <mo stretchy="false"> ) </mo>
                    </mrow>
                </mfrac>
                <mo> + </mo>
                <mo> ⋯ </mo>
                <mo> = </mo>
                <munderover>
                    <mo> ∏ </mo>
                    <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                        <mi> j </mi>
                        <mo> = </mo>
                        <mn> 0 </mn>
                    </mrow>
                    <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                        <mi mathvariant="normal"> ∞ </mi>
                    </mrow>
                </munderover>
                <mfrac>
                    <mn> 1 </mn>
                    <mrow>
                        <mo stretchy="false"> ( </mo>
                        <mn> 1 </mn>
                        <mo> − </mo>
                        <msup>
                            <mi> q </mi>
                            <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                <mn> 5 </mn>
                                <mi> j </mi>
                                <mo> + </mo>
                                <mn> 2 </mn>
                            </mrow>
                        </msup>
                        <mo stretchy="false"> ) </mo>
                        <mo stretchy="false"> ( </mo>
                        <mn> 1 </mn>
                        <mo> − </mo>
                        <msup>
                            <mi> q </mi>
                            <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                <mn> 5 </mn>
                                <mi> j </mi>
                                <mo> + </mo>
                                <mn> 3 </mn>
                            </mrow>
                        </msup>
                        <mo stretchy="false"> ) </mo>
                    </mrow>
                </mfrac>
                <mo> , </mo>
                <mspace width="1em"></mspace>
                <mspace width="1em"></mspace>
                <mrow>
                    <mtext> for&nbsp; </mtext>
                    <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                        <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                            <mo stretchy="false"> | </mo>
                        </mrow>
                        <mi> q </mi>
                        <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                            <mo stretchy="false"> | </mo>
                        </mrow>
                        <mo> &lt; </mo>
                        <mn> 1 </mn>
                    </mrow>
                </mrow>
                <mo> . </mo>
            </math>
        </mjx-assistive-mml>
    </mjx-container>
    <h2> Maxwell's Equations </h2>
    <mjx-container jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="11">
        <mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block">
            <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
                <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
                    <mtr>
                        <mtd>
                            <mi mathvariant="normal"> ∇ </mi>
                            <mo> × </mo>
                            <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                <mover>
                                    <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                        <mi mathvariant="bold"> B </mi>
                                    </mrow>
                                    <mo stretchy="false"> → </mo>
                                </mover>
                            </mrow>
                            <mo> − </mo>
                            <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                            <mfrac>
                                <mn> 1 </mn>
                                <mi> c </mi>
                            </mfrac>
                            <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                            <mfrac>
                                <mrow>
                                    <mi mathvariant="normal"> ∂ </mi>
                                    <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                        <mover>
                                            <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                                <mi mathvariant="bold"> E </mi>
                                            </mrow>
                                            <mo stretchy="false"> → </mo>
                                        </mover>
                                    </mrow>
                                </mrow>
                                <mrow>
                                    <mi mathvariant="normal"> ∂ </mi>
                                    <mi> t </mi>
                                </mrow>
                            </mfrac>
                        </mtd>
                        <mtd>
                            <mi></mi>
                            <mo> = </mo>
                            <mfrac>
                                <mrow>
                                    <mn> 4 </mn>
                                    <mi> π </mi>
                                </mrow>
                                <mi> c </mi>
                            </mfrac>
                            <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                <mover>
                                    <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                        <mi mathvariant="bold"> j </mi>
                                    </mrow>
                                    <mo stretchy="false"> → </mo>
                                </mover>
                            </mrow>
                        </mtd>
                    </mtr>
                    <mtr>
                        <mtd>
                            <mi mathvariant="normal"> ∇ </mi>
                            <mo> ⋅ </mo>
                            <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                <mover>
                                    <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                        <mi mathvariant="bold"> E </mi>
                                    </mrow>
                                    <mo stretchy="false"> → </mo>
                                </mover>
                            </mrow>
                        </mtd>
                        <mtd>
                            <mi></mi>
                            <mo> = </mo>
                            <mn> 4 </mn>
                            <mi> π </mi>
                            <mi> ρ </mi>
                        </mtd>
                    </mtr>
                    <mtr>
                        <mtd>
                            <mi mathvariant="normal"> ∇ </mi>
                            <mo> × </mo>
                            <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                <mover>
                                    <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                        <mi mathvariant="bold"> E </mi>
                                    </mrow>
                                    <mo stretchy="false"> → </mo>
                                </mover>
                            </mrow>
                            <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                            <mo> + </mo>
                            <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                            <mfrac>
                                <mn> 1 </mn>
                                <mi> c </mi>
                            </mfrac>
                            <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                            <mfrac>
                                <mrow>
                                    <mi mathvariant="normal"> ∂ </mi>
                                    <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                        <mover>
                                            <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                                <mi mathvariant="bold"> B </mi>
                                            </mrow>
                                            <mo stretchy="false"> → </mo>
                                        </mover>
                                    </mrow>
                                </mrow>
                                <mrow>
                                    <mi mathvariant="normal"> ∂ </mi>
                                    <mi> t </mi>
                                </mrow>
                            </mfrac>
                        </mtd>
                        <mtd>
                            <mi></mi>
                            <mo> = </mo>
                            <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                <mover>
                                    <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                        <mn mathvariant="bold"> 0 </mn>
                                    </mrow>
                                    <mo stretchy="false"> → </mo>
                                </mover>
                            </mrow>
                        </mtd>
                    </mtr>
                    <mtr>
                        <mtd>
                            <mi mathvariant="normal"> ∇ </mi>
                            <mo> ⋅ </mo>
                            <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                <mover>
                                    <mrow data-mjx-texclass="ORD">
                                        <mi mathvariant="bold"> B </mi>
                                    </mrow>
                                    <mo stretchy="false"> → </mo>
                                </mover>
                            </mrow>
                        </mtd>
                        <mtd>
                            <mi></mi>
                            <mo> = </mo>
                            <mn> 0 </mn>
                        </mtd>
                    </mtr>
                </mtable>
            </math>
        </mjx-assistive-mml>
    </mjx-container>
    <h2> In-line Mathematics </h2>
    <p> Finally, while display equations look good for a page of samples, the ability to mix math and text in a paragraph is also important. This expression </p>
    <mjx-container jax="CHTML" tabindex="0" ctxtmenu_counter="12">
        <mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline">
            <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
                <msqrt>
                    <mn> 3 </mn>
                    <mi> x </mi>
                    <mo> − </mo>
                    <mn> 1 </mn>
                </msqrt>
                <mo> + </mo>
                <mo stretchy="false"> ( </mo>
                <mn> 1 </mn>
                <mo> + </mo>
                <mi> x </mi>
                <msup>
                    <mo stretchy="false"> ) </mo>
                    <mn> 2 </mn>
                </msup>
            </math>
        </mjx-assistive-mml>
    </mjx-container>is an example of an inline equation. As you see, MathJax equations can be used this way as well, without unduly disturbing the spacing between lines.
</div>